Физическая величина определяющая скорость изменения фазы колебаний. Изучаем колебания – фаза колебаний

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания широко распространены в окружающем мире и могут иметь самую различную природу. Это могут быть механические (маятник), электромагнитные (колебательный контур) и другие виды колебаний. Свободными , или собственными колебаниями, называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе, после того как она была выведена внешним воздействием из состояния равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса . Уравнение гармонических колебаний имеет вид: , где A - амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия) ; - круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса - называется фазой колебаний . Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t. Постоянная φ представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания .. Этот промежуток времени T называется периодом гармонических колебаний. Период гармонических колебаний равен : T = 2π/.Математи́ческий ма́ятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения . Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника.Физический маятник - Осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

24. Электромагнитные колебания. Колебательный контур. Формула Томсона.

Электромагнитные колебания - это колебания электрического и магнитного полей, которые сопровождаются периодическим изменением заряда, силы тока и напряжения. Простейшей системой, где могут возникнуть и существовать свободные электромагнитные колебания, является колебательный контур. Колебательный контур - это цепь, состоящая из катушки индуктивности и конденсатора (рис. 29, а). Если конденсатор зарядить и замкнуть на катушку, то по катушке потечет ток (рис. 29, б). Когда конденсатор разрядится, ток в цепи не прекратится из-за самоиндукции в катушке. Индукционный ток, в соответствии с правилом Ленца, будет иметь то же направление и перезарядит конденсатор (рис. 29, в). Процесс будет повторяться (рис. 29, г) по аналогии с колебаниями маятниками. Таким образом, в колебательном контуре будут происходить электромагнитные колебания из-за превращения энергии электрического поля конденсатора () в энергию магнитного поля катушки с током (), и наоборот. Период электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора и находится по формуле Томсона . Частота с периодом связана обратно пропорциональной зависимостью .

Но т.к. витки сдвинуты в пространстве, то наводимая в них ЭДС будет достигать амплитудных и нулевых значений не одновременно.

В начальный момент времени ЭДС витка будет:

В этих выражениях углы и называются фазными , или фазой . Углы и называются начальной фазой . Фазный угол определяет значение ЭДС в любой момент времени, а начальная фаза определяет значение ЭДС в начальный момент времени.

Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты и амплитуды называется углом сдвига фаз

Разделив угол сдвига фаз на угловую частоту, получим время, прошедшее с начала периода:

Графическое изображение синусоидальных величин

U = (U 2 a + (U L - U c) 2)

Таким образом, из-за наличия угла сдвига фаз напряжение U всегда меньше алгебраической суммы U a + U L + U C . Разность U L - U C = U p называется реактивной составляющей напряжения .

Рассмотрим, как изменяются ток и напряжение в последовательной цепи переменного тока.

Полное сопротивление и угол сдвига фаз. Если подставить в формулу (71) значения U a = IR; U L = lL и U C =I/(C), то будем иметь: U = ((IR) 2 + 2), откуда получаем формулу закона Ома для последовательной цепи переменного тока:

I = U / ((R 2 + 2)) = U / Z (72)

где Z = (R 2 + 2) = (R 2 + (X L - X c) 2)

Величину Z называют полным сопротивлением цепи , оно измеряется в омах. Разность L — l/(C) называют реактивным сопротивлением цепи и обозначают буквой X. Следовательно, полное сопротивление цепи

Z = (R 2 + X 2)

Соотношение между активным, реактивным и полным сопротивлениями цепи переменного тока можно также получить по теореме Пифагора из треугольника сопротивлений (рис. 193). Треугольник сопротивлений А’В’С’ можно получить из треугольника напряжений ABC (см. рис. 192,б), если разделить все его стороны на ток I.

Угол сдвига фаз определяется соотношением между отдельными сопротивлениями, включенными в данную цепь. Из треугольника А’В’С (см. рис. 193) имеем:

sin ? = X / Z; cos? = R / Z; tg? = X / R

Например, если активное сопротивление R значительно больше реактивного сопротивления X, угол сравнительно небольшой. Если в цепи имеется большое индуктивное или большое емкостное сопротивление, то угол сдвига фаз возрастает и приближается к 90°. При этом, если индуктивное сопротивление больше емкостного, напряжение и опережает ток i на угол; если же емкостное сопротивление больше индуктивного, то напряжение и отстает от тока i на угол.

Идеальная катушка индуктивности, реальная катушка и конденсатор в цепи переменного тока.

Реальная катушка в отличии от идеальной имеет не только индуктивность, но и активное сопротивление, поэтому при протекании переменного тока в ней сопровождается не только изменением энергии в магнитном поле, но и преобразованием электрической энергии в другой вид. В частности, в проводе катушки электрическая энергия преобразуется в тепло в соответствии с законом Ленца — Джоуля .

Ранее было выяснено, что в цепи переменного тока процесс преобразования электрической энергии в другой вид характеризуется активной мощностью цепи Р , а изменение энергии в магнитном поле — реактивной мощностью Q .

В реальной катушке имеют место оба процесса, т. е. ее активная и реактивная мощности отличны от нуля. Поэтому одна реальная катушка в схеме замещения должна быть представлена активным и реактивным элементами.

4 Кинематическая связь между круговым движением и гармоническим колебательным движением. Пусть точка движется по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью ω. Тогда проекция x-радиус – вектора этой точки на горизонтальную ось OX (рис.11, а) выразится так:

Но α = ωt. Поэтому:

Это значит, что проекция точки, движущейся по окружности, на ось OX совершает гармонические колебания с амплитудой x m = R и циклической частотой ω. Это используется в так называемом кулисном механизме, предназначенном для преобразования вращательного движения в колебательное. Рассмотрим устройство кулисного механизма на простейшей его модели (рис.11б). На оси электродвигателя 1 укреплён кривошип 2, а на кривошипе – палец 3. При работе двигателя палец движется по окружности радиуса R. Палец вставлен в прорезь кулисы 4, которая может двигаться по направляющим 5. Поэтому палец давит на кулису и заставляет её смещаться то

Фаза колебаний. Разность фаз

1 Понятие фазы колебаний. Так как амплитудные значения смещения (x m), скорости (υ m) и ускорения(a m) при гармонических колебаниях постоянны, то мгновенные значения этих величин, как видно из формул смещения, скорости и ускорения, определяются значением аргумента

называемого фазой колебаний.

Таким образом, фазой колебания называется физическая величина, определяющая (при данной амплитуде) мгновенные значения смещения, скорости и ускорения.

Из формулы

x = x m sin ω 0 t

видно, что при t = 0 смещение x также равно нулю. Но всегда ли будет так?

Допустим для конкретности, что мы наблюдаем движение кулисного механизма, отсчитывая время по положению стрелки секундомера. В этом случае момент t= 0 есть момент пуска секундомера. Запись «x = 0 при t= 0» означает, что секундомер был пущен в один из тех моментов, когда кулиса находилась в среднем (нулевом) положении (рис. 12, а). В этом случае

x = x m sin ω 0 t

Предположим теперь, что секундомер был включен тогда, когда кулиса уже сместилась на расстояние x’ (рис. 12, б). В этом случае смещение кулисы через промежуток времени t, отмеченный секундомером, определится формулой

x = x m sin ω 0 (t + t ")

где t " – время, необходимое на смещение кулисы на величину x’.

x = x m sin (ω 0 t + ω 0 t "),

x = x m sin (ω 0 t + φ 0),

где φ 0 = ω 0 t- начальная фаза колебаний. Мы видим, что начальная фаза зависит от выбора начала отсчёта времени. Если начало отсчёта времени ведётся с момента, когда смещение равно нулю(x = 0), то начальная фаза равна нулю. Изменение мгновенного значения

смещения в этом случае описывается формулой

x = x m sin ω 0 t

Если же за начало отсчёта времени берётся момент, когда изменяющееся смещение достигло наибольшего значения x = x m , то начальная фаза равна π/2 и изменение мгновенного значения смещения описывается формулой

x = x m sin (ω 0 t + ) = x m sin ω 0 t

2 Разность фаз двух гармонических колебаний. Возьмём два одинаковых маятника. Подтолкнув маятники в разные моменты времени t 1 и t 2 , запишем осциллограммы их колебаний (рисунок 13). Анализ осциллограмм показывает, что колебания маятников имеют одинаковую частоту, но не совпадают по фазе. Колебания первого маятника опережают колебания второго маятника на одну и ту же постоянную величину.

Уравнения колебаний маятников запишутся так:

x 1 = x m sin (ω 0 t + φ 1),

x 2 = x m sin (ω 0 t + φ 2)

Величина φ 1 -φ 2 – называется разностью фаз или сдвигом фаз.

>> Фаза колебаний

§ 23 ФАЗА КОЛЕБАНИЙ

Введем еще одну величину, характеризующую гармонические колебания , - фазу колебаний.

При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса :

Величину , стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называют фазой колебаний, описываемой этой функцией. Выражается фаза в угловых единицах радианах.

Фаза определяет не только значение координаты, но и значение других физических величин, например скорости и ускорения, изменяющихся также по гармоническому закону. Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени. В этом состоит значение понятия фазы.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.

Отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t, выраженному в числе периодов Т, соответствует значение фазы , выраженное в радианах. Так, по прошествии времени t = (четверти периода) , по прошествии половины периода = , по прошествии целого периода = 2 и т. д.

Можно изобразить на графике зависимость координаты колеблющейся точки не от времени, а от фазы. На рисунке 3.7 показана та же косинусоида, что и на рисунке 3.6, но на горизонтальной оси отложены вместо времени различные значения фазы .

Представление гармонических колебаний с помощью косинуса и синуса. Вы уже знаете, что при гармонических колебаниях координата тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса. После введения понятия фазы остановимся на этом подробнее.

Синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на , что соответствует, как видно из уравнения (3.21), промежутку времени, равному четверти периода:

Но при этом начальная фаза, т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а .

Обычно колебания тела, прикрепленного к пружине, или колебания маятника мы возбуждаем, выводя тело маятника из положения равновесия и затем отпуская его. Смещение от гихпожения равновесия максимально в начальной момент. Поэтому для описания колебаний удобнее пользоваться формулой (3.14) с применением косинуса, чем формулой (3.23) с применением синуса.

Но если бы мы возбудили колебания покоящегося тела кратковременным толчком, то координата тела в начальный момент была бы равна нулю, и изменения координаты со временем было бы удобнее описывать с помощью синуса, т. е. формулой

x = x m sin t (3.24)

так как при этом начальная фаза равна нулю.

Если в начальный момент времени (при t = 0) фаза колебаний равна , то уравнение колебаний можно записать в виде

x = x m sin(t + )

Сдвиг фаз. Колебания, описываемые формулами (3.23) и (3.24), отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз, этих колебаний составляет . На рисунке 3.8 показаны графики зависимости координат от времени колебаний, сдвинутых по фазе на . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону: x = x m sin t а график 2 - колебаниям, совершающимся по закону косинуса:

Для определения разности фаз двух колебаний надо в обоих случаях колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию - косинус или синус.

1. Какие колебания называют гармоническими!
2. Как связаны ускорение и координата при гармонических колебаниях!

3. Как связаны циклическая частота колебаний и период колебаний!
4. Почему частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, зависит от его массы, а частота колебаний математического маятника от массы не зависит!
5. Каковы амплитуды и периоды трех различных гармонических колебаний, графики которых представлены на рисунках 3.8, 3.9!