Что такое структурная прочность грунта? Просадочные грунты: типы и характеристики. Метод определения плотности грунта Задачи курса механики грунтов

Прочность грунтов – это их способность сопротивляться разрушению. В инженерно-геологических целях важно знать механическую прочность грунтов, т.е. способность сопротивляться разрушению под воздействием механических напряжений. Если деформационные характеристики определяются при напряжениях, не приводящих к разрушению (т.е. до критических), то параметры прочности грунтов определяются при нагрузках, приводящих к разрушению грунта (т.е. предельных).

Физическая природа прочности грунтов определяется силами взаимодействия между частицами, т.е. зависит от прочности структурных связей. Чем больше силы взаимодействия между частицами грунта, тем выше его прочность в целом. Установлено, что разрушение грунта происходит при сдвиге одной его части по другой под действием касательных напряжений от внешней нагрузки. Грунт оказывает при этом сопротивление сдвигающим усилиям: в несвязных грунтах это сопротивление внутреннего трения, а для связных грунтов, кроме того, сопротивление сил сцепления.

Параметры прочности чаще определяют в лабораторных условиях на одноплоскостных приборах прямого среза и стабилометрах. Схема прибора прямого среза изображена на рис. 2.13. Он представляет собой обойму из двух металлических колец, между которыми оставлен зазор (около 1 мм). Нижнее кольцо укреплено неподвижно, верхнее может смещаться горизонтально.

Испытания проводят на нескольких образцах, предварительно уплотненных разными вертикальными давлениями р . Величина нормального напряжения σ от нагрузки уплотнения составит , где A – площадь образца. Затем ступенями прикладываем горизонтальные нагрузки Т , под действием которых в зоне ожидаемого сдвига развиваются касательные напряжения . При некотором значении наступает предельное равновесие и происходит перемещение верхней части образца по нижней. За предельное сопротивление грунта сдвигу принимают касательные напряжения от той ступени загружения, при которой развитие деформаций сдвига не прекращается.

При сдвиге (одноплоскостном срезе) прочность грунта зависит от соотношения нормального сжимающего и касательного сдвигающего напряжений, действующих на одной площадке: чем больше вертикальная сжимающая нагрузка на образец грунта, тем большее сдвигающее напряжение надо приложить к образцу для его среза. Взаимосвязь предельных касательных и нормальных напряжений описывается линейным уравнением, представляющим собой уравнение предельного равновесия (закон Кулона)

Tgj + c , (2.22)

где – угол внутреннего трения, град; tg – коэффициент внутреннего трения; с – сцепление, МПа. Здесь равен углу наклона прямой в координатах , а величина сцепления с равна отрезку, отсекаемому на оси , т.е. при (рис. 2.14). Для сыпучих грунтов, не обладающих сцеплением (с = 0), закон Кулона упрощается:

Tgj . (2.23)

Таким образом, и с являются параметрами прочности грунта на сдвиг.

С углом внутреннего трения в некоторых случаях отождествляется угол естественного откоса , определяемый у несвязных грунтов. Углом естественного откоса называется угол наклона поверхности свободно насыпанного грунта к горизонтальной плоскости. Он формируется за счет сил трения частиц.

При трехосном сжатии прочность грунта зависит от соотношения главных нормальных напряжений и . Испытания производят на приборе стабилометре (рис. 2.15). Образец грунта цилиндрической формы заключают в водонепроницаемую резиновую оболочку и вначале подвергают его всестороннему гидравлическому давлению, а затем к образцу ступенями прикладывают вертикальное давление, доводя образец до разрушения. Напряжения и получают из опыта.

Испытания на трехосное сжатие проводят по такой схеме соотношения главных напряжений, когда > . В этом случае зависимость строится с помощью кругов Мора, радиус которых (рис. 2.16). Проводя испытания на трехосное сжатие грунта не менее двух образцов и построив с помощью кругов Мора предельную огибающую к ним вида , согласно теории прочности Кулона-Мора определяют значения и с , которые в условиях трехосного сжатия являются параметрами прочности грунта.

Давление связности (суммарно заменяющее действие сил сцепления и трения) определяется по формуле

ctgj

Для главных напряжений условие Кулона-Мора имеет вид

. (2.24)

2.6.1. Факторы, влияющие на сопротивление грунтов сдвигу

Главной особенностью сопротивления сдвигу несвязных грунтов является отсутствие сцепления. Поэтому сопротивление сдвигу таких грунтов характеризуется углом внутреннего трения или углом естественного откоса , а основными факторами, определяющими прочность несвязных грунтов при сдвиге, будут те, которые влияют на трение между частицами грунта.

Величина сил трения между частицами несвязных грунтов прежде всего зависит от формы частиц и характера их поверхности. Окатанные частицы обусловливают снижение угла внутреннего трения грунтов за счет уменьшения сил трения и зацепления частиц. Угловатые частицы с неровной шероховатой поверхностью увеличивают угол внутреннего трения грунта как за счет зацепления, так и за счет повышения сил трения частиц.

На величину угла внутреннего трения в несвязных грунтах влияет и дисперсность. С увеличением дисперсности таких грунтов снижается за счет уменьшения сил зацепления частиц.

Среди других факторов, влияющих на сопротивление сдвигу несвязных грунтов, отметим плотность их сложения (пористость). В рыхлом сложении пористость больше и угол внутреннего трения будет меньше, чем в том же грунте плотного сложения. Наличие воды в несвязном грунте снижает трение между частицами и угол внутреннего трения. Особенностью сопротивления сдвигу связных грунтов является присутствие у них сцепления, величина которого меняется в широких пределах.

На сопротивление сдвигу связных грунтов оказывают влияние структурно-текстурные особенности (тип структурных связей, дисперсность, пористость), влажность грунтов. Связные грунты с кристаллизационными структурными связями обладают более высокими значениями с и , чем грунты с коагуляционными связями. Влияние текстуры проявляется в анизотропии прочности по разным координатам (в грунтах с ориентированной текстурой сдвиг вдоль направления ориентации частиц происходит более легко, чем поперек их ориентации).

С ростом влажности связных грунтов сцепление с и угол внутреннего трения закономерно снижаются за счет ослабления структурных связей и смазывающего действия воды на контактах частиц.

2.6.2. Нормативные и расчетные деформационные и прочностные характеристики грунтов

Грунты в основании фундаментов неоднородны. Поэтому определение какой-либо его характеристики по исследованию одного образца дает только частное значение. Для определения нормативных характеристик грунта проводят серию определения каждого показателя. Нормативные значения модуля деформации грунтов определяются как среднеарифметические величины от общего числа определений:

где n – число определений; – частное значение характеристики.

Нормативные значения прочностных характеристик – угла внутреннего трения и сцепления – определяются после построения графиков сопротивления грунта сдвигу. Результаты серии опытов на сдвиг аппроксимируют прямой с использованием для обработки экспериментальных данных метода наименьших квадратов. При этом число определений сопртивлений сдвигу при одном уровне нормальных напряжений должно быть не менее шести.

Нормативные значения прямой и находим по формулам

; (2.26)

tg , (2.27)

Работа посвящена характеристике исходного состояния дисперсных грунтов - их структурной прочности. Знание ее изменчивости позволяет определить степень уплотненности грунта и, возможно, особенности истории его формирования в данном регионе. Оценка и учет этого показателя при испытаниях грунтов имеет важнейшее значение при определении характеристик их физико-механических свойств, а также при дальнейших расчетах осадок оснований сооружений, что слабо отражено в нормативных документах и мало применяется в практике инженерно-геологических изысканий. В работе кратко изложены наиболее распространенные графические методы определения показателя по результатам компрессионных испытаний, полученные результаты лабораторных исследований структурной прочности дисперсных грунтов территории Томской области. Выявлены взаимосвязи между структурной прочностью грунтов и глубиной их залегания, степень их уплотненности. Даны краткие рекомендации по применению показателя.

Структурная прочность грунтов

давление предварительного уплотнения

1. Беллендир Е.Н., Векшина Т.Ю., Ермолаева А.Н., Засорина О.А. Способ оценки степени переуплотнения глинистых грунтов в природном залегании//Патент России № 2405083

2. ГОСТ 12248–2010. Грунты. Методы лабораторного определения характеристик прочности и деформируемости.

3. ГОСТ 30416–2012. Грунты. Лабораторные испытания. Общие положения.

4. Кудряшова Е.Б. Закономерности формирования переуплотненных глинистых грунтов: дис. канд. геолого-минералогических наук: 25.00.08. – М., 2002.– 149 с.

5. МГСН 2.07–01 Основания, фундаменты и подземные сооружения. – М.: Правительство Москвы, 2003. – 41 с.

6. СП 47.13330.2012 (актуализированная редакция СНиП 11-02-96). Инженерные изыскания для строительства. Основные положения. – М.: Госстрой России, 2012.

7. Цытович Н.А.// Материалы всесоюзного совещания по строительству на слабых водонасыщенных грунтах. – Таллинн, 1965. – С. 5-17.

8. Akai, K. ie structurellen Eigenshaften von Schluff. Mitteilungen Heft 22 // Die Technishe Hochchule, Aachen. – 1960.

9. Becker, D.B., Crooks, J.H.A., Been, K., and Jefferies, M.G. Work as a criterion for determining in situ and yield stresses in clays // Canadian Geotechnical Journal. – 1987. – Vol. 24., №4. – p. 549-564.

10. Boone J. A critical reappraisal of ‘‘preconsolidation pressure’’ interpretations using the oedometer test // Can. Geotech. J. – 2010. – Vol. 47. –p. 281–296.

11. Boone S.J. & Lutenegger A.J. Carbonates and cementation of glacially derived cohesive soils in New York State and southern Ontario // Can. Geotech.– 1997. – Vol 34. – p. 534–550.

12. Burland, J.B. Thirtieth Rankine Lecture: On the compressibility and shear strength of natural clays // Géotechnique. – 1990. – Vol 40, №3. – p. 327–378.

13. Burmister, D.M. The application of controlled test methods in consolidation testing. Symfosium on Consolidation testing of soils // ASTM. STP 126. – 1951. – p. 83–98.

14. Butterfield, R. A natural compression law for soils (an advance on e–log p’) // Geotechnique. – 1979. – Vol 24, №4. – p. 469–479.

15. Casagrande, A. The determination of the preconsolidation load and its practical significance. // In Proceedings of the First International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering. Harvard Printing Office, Cambridge, Mass. – 1936. – Vol. 3. – p. 60–64.

16. Chen, B.S.Y., Mayne, P.W. Statistical relationships between piezocone measurements and stress history of clays // Canadian Geotechnical Journal. – 1996. – Vol. 33 – p. 488-498.

17. Chetia M, Bora P K. Estimation of over consolidated ratio of saturated uncemented clays from simple parameters // Indian Geotechnical Journal. – 1998. – Vol. 28, №2. – p. 177-194.

18. Christensen S., Janbu N. Oedometer tests – a primary requirement in practical soil mechanics. // Proceedings Nordisk Geoteknikermode NGM-92. – 1992. – Vol. 2, №9. – p. 449-454.

19. Conte, O., Rust, S., Ge, L., and Stephenson, R. Evaluation of Pre-Consolidation Stress Determination Methods // Instrumentation, Testing, and Modeling of Soil and Rock Behavior. – 2011. – p. 147–154.

20. Dias J. et al. Traffic effects on the soil preconsolidation pressure due to eucalyptus harvest operations // Sci. agric. – 2005. – Vol. 62, №3. – p. 248-255.

21. Dias Junior, M.S.; Pierce, F.J. A simple procedure for estimating preconsolidation pressure from soil compression curves. // Soil Technology. – Amsterdam, 1995. – Vol.8, №2. – p. 139–151.

22. Einav, I; Carter, JP. On convexity, normality, pre-consolidation pressure, and singularities in modelling of granular materials // Granular Matter. – 2007. – Vol. 9, №1-2. – p. 87-96.

23. Gregory, A.S. et al. Calculation of the compression index and precompression stress from soil compression test data // Soil and Tillage Research, Amsterdam. – 2006. – Vol. 89, №1. – p. 45–57.

24. Grozic J. L. H., lunne T. & Pande S. An odeometer test study on the preconsolidation stress of glaciomarine clays. // Canadian Geotechnical Journal. – 200. – Vol. 40. – p. 857–87.

25. Iori, Piero et al. Comparison of field and laboratory models of the load bearing capacity in coffee plantations // Ciênc. agrotec. – 2013. Vol. 2, №2. – p. 130-137.

26. Jacobsen, H.M. Bestemmelse af forbelastningstryk i laboratoriet // In Proceedings of Nordiske Geotechnikermonde NGM–92, May 1992. Aalborg, Denmark. Danish Geotechnical Society Bulletin. – 1992. Vol. 2, № 9. – p. 455–460.

27. Janbu, N. The resistance concept applied to deformation of soils // In Proceedings of the 7th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Mexico City, 25–29 August 1969. A.A. Balkema, Rotterdam, the Netherlands. – 1969. – Vol. 1. – p. 191–196.

28. Jolanda L. Stress-strain Characterisation of Seebodenlehm // 250 Seiten, broschier. – 2005. – 234 p.

29. Jose Babu T.; Sridharan Asur; Abraham Benny Mathews: Log-log method for determination of preconsolidation pressure // ASTM Geotechnical Testing Journal. – 1989. – Vol.12, №3. – p. 230–237.

30. Kaufmann K. L., Nielsen B. N., Augustesen A. H. Strength and Deformation Properties of Tertiary Clay at Moesgaard Museum // Aalborg University Department of Civil Engineering Sohngaardsholmsvej 57 DK-9000 Aalborg, Denmark. – 2010. – p. 1–13.

31. Kontopoulos, Nikolaos S. The effects of sample disturbance on preconsolidation pressure for normally consolidated and overconsolidated clays Massachusetts Institute of Technology. // Dept. of Civil and Environmental Engineering. – 2012. – 285p.

32. Ladd, C. C. Settlement Analysis of Cohesive Soils // Soil Publication 272,MIT, Department of Civil Engineering, Cambridge, Mass. – 1971. – 92p.

33. Mayne, P.W., Coop, M.R., Springman, S., Huang, A-B., and Zornberg, J. // GeoMaterial Behavior and Testing // Proc. 17th Intl. Conf. Soil Mechanics & Geotechnical Engineering. – 2009. – Vol. 4. –p. 2777-2872.

34. Mesri, G. and A. Castro. Cα/Cc Concept and Ko during Secondary Compression // ASCE J. Geotechnical Engineering. – 1987. Vol. 113, №3. – p. 230-247.

35. Nagaraj T. S., Shrinivasa Murthy B. R., Vatsala A. Prediction of soil behaviors –part ii- saturated uncemented soil // Canadian Geotechnical Journal. – 1991. – Vol. 21, №1. – p. 137-163.

36. Oikawa, H. Compression curve of soft soils // Journal of the Japanese Geotechnical Society, Soils and Foundations. – 1987. – Vol. 27, №3. – p. 99-104.

37. Onitsuka, K., Hong, Z., Hara, Y., Shigeki, Y. Interpretation of oedometer test data for natural clays // Journal of the Japanese Geotechnical Society, Soils and Foundations. – 1995. – Vol. 35, №3.

38. Pacheco Silva, F. A new graphical construction for determination of the preconsolidation stress of a soil sample // In Proceedings of the 4th Brazilian Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Rio de Janeiro, August 1970. – Vol. 2, №1. – p. 225–232.

39. Paul W. Mayne, Barry R. Christopher, and Jason De Jong. Manual on subsurface investigations // National Highway Institute, Federal Highway Administration Washington, DC. – 2001. – 305p.

40. Sallfors, G. Preconsolidation pressure of soft, highplastic clays. – Goteborg. Geotechnical Department of Chalmers University of Technology. – 231p.

41. Schmertmann, J. H., Undisturbed Consolidation Behavior of Clay // Transaction, ASCE. – 1953. – Vol. 120. – p. 1201.

42. Schmertmann, J., H. Guidelines for cone penetration tests, performance and design. // US Federal Highway Administration, Washington, DC, Report, FHWATS-78-209. – 1978. – p. 145.

43. Semet C., Ozcan T. Determination of preconsolidation pressure with artificial neural network // Civil Engineering and Environmental Systems. – 2005. – Vol. 22, № 4. – p. 217–231.

44. Senol A., Saglamer A. Determination of Preconsolidation Pressure with a New Strain Energy-Log Stress Method // Electronic Journal of Geotechnical Engineering. – 2000. – Vol. 5.

45. Senol, A. Zeminlerde On. Determination of Preconsolidation pressure: PhD Dissertation, Institute of Science and Technology. – Istanbul, Turkey. – 1997. – p. 123.

46. Solanki C.H., Desai M.D. Preconsolidation Pressure from Soil Index and Plasticity Properties // The 12th International Conference of International Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics. – Goa, India. – 2008.

47. Sully, J.P., Campenella, R.G. and Robertson, P.K. Interpretation of penetration pore pressure to evaluate stress history of clays // Proceedings of the first International symposium on Penetration testing. – Orlando. – 1988. –Vol.2 – p. 993-999.

48. Tavenas F., Des Rosier J.P., Leroueil S. et al. The use of strain energy as a yield and creep criterion for lightly overconsolidated clays // Géotechnique. – 1979. – Vol. 29. – p. 285-303.

49. Thøgersen, L. Effects of Experimental Techniques and Osmotic Pressure on the Measured Behaviour of Tertiary Expansive Clay: Ph. D. thesis, Soil Mechanics Laboratory, Aalborg University. – 2001. – Vol. 1.

50. Wang, L. B., Frost, J. D. Dissipated Strain Energy Method for Determining Preconsolidation Pressure // Canadian Geotechnical Journal. – 2004. – Vol. 41, №4. – p. 760-768.

Структурной прочностью p str называется прочность, обусловленная наличием структурных связей и характеризуемая напряжением, до которого образец грунта при его нагружении вертикальной нагрузкой практически не деформируется . Так как уплотнение начинается при напряжениях в грунте, превышающих его структурную прочность и при проведении испытаний грунтов недооценка этого показателя влечет за собой ошибки в определениях значений других характеристик механических свойств. Важность определения показателя p str отмечается давно , как пишет Н.А. Цытович - «...кроме обычных показателей деформативно-прочностных свойств слабых глинистых грунтов, для оценки поведения этих грунтов под нагрузкой и установления правильного прогноза величины осадок возводимых на них сооружений необходимо при изысканиях определять структурную прочность p str ». Явление при изысканиях степени уплотненности грунтов важно для прогноза осадки проектируемого сооружения, так как на переуплотненных грунтах осадка может быть в четыре и более раз меньше, чем на нормально уплотненных грунтах. При значениях коэффициента переуплотнения OCR > 6 коэффициент бокового давления грунта в покое K о может превышать 2, что необходимо учитывать при расчете подземных сооружений .

Как отмечено в работе : «Первоначально условия нормального уплотнения преобладают во время процесса осадконакопления и формирования и последующего уплотнения морских, озерных, аллювиальных, дельтовых, эоловых и речных отложений песков, илов и глин. Тем не менее, большинство грунтов на Земле стали слегка/умеренно/сильно переуплотненными в результате воздействия различных физических, экологических, климатических и тепловых процессов на протяжении от многих тысяч до миллионов лет. Эти механизмы переуплотнения и/или видимого предварительного напряжения включают в себя: поверхностную эрозию, выветривание, повышение уровня моря, увеличение уровня грунтовых вод, оледенение, циклы замораживания-оттаивания, повторяющееся смачивание/испарение, высыхание, потерю массы, сейсмические нагрузки, приливно-отливные циклы и геохимические воздействия». Тема определения состояния уплотнения грунтов по-прежнему весьма актуальна и встречается в публикациях, практически, со всех континентов . Факторы и показатели, определяющие переуплотненное или недоуплотненное состояние глинистых грунтов, причины и влияние на физико-механические показатели столь прочной цементации рассмотрены в работах . Результаты определения показателя также имеют широкий круг применения на практике, начиная от расчета осадок оснований сооружений ; сохранения естественной структуры предназначенных для лабораторных испытаний образцов; до весьма специфических тем, по прогнозу уплотнения почв эвкалиптовых и кофейных плантаций, путем сопоставления их структурной прочности с нагрузкой от техники .

Знание значений показателя p str и их изменчивости с глубиной характеризуют особенности состава, связей и структуры грунтов, условия их формирования, в том числе и историю нагружения. В связи с этим, особый научный и практический интерес вызывают исследования p str в разных регионах, особенно важны эти исследования на территории Западной Сибири с мощным чехлом осадочных отложений. В Томской области проводились детальные исследования состава и свойств грунтов, в результате которых и территория г. Томска, и прилегающие районы изучены довольно подробно с инженерно-геологических позиций. В то же время, необходимо отметить, что грунты исследовались конкретно под строительство определенных объектов в соответствии с действующими нормативными документами, которые не содержат рекомендации по дальнейшему применению p str и, соответственно, не включают его в список необходимых определяемых характеристик грунтов . Поэтому, целью данной работы является определение структурной прочности дисперсных грунтов и ее изменения по разрезу в наиболее активно освоенных и осваиваемых районах Томской области.

Задачи исследования включали обзор и систематизацию методов получения p str , лабораторные определения состава грунта и характеристик основных физических и механических свойств, изучение изменчивости p str с глубиной, сравнение структурной прочности с бытовым давлением.

Работы проводились в ходе инженерно-геологических изысканий под ряд крупных объектов, расположенных в центральных и северо-западных районах Томской области, где верхняя часть разреза представлена различными стратиграфо-генетическими комплексами пород четвертичной системы, палеогена и мела. Условия их залегания, распространения, состав, состояние зависят от возраста и генезиса и создают довольно разнородную картину, по составу изучались только дисперсные грунты, в которых преобладают глинистые разновидности полутвердой, твердой и тугопластичной консистенции. Для решения поставленных задач были опробованы скважины и шурфы в 40 точках, было отобрано более 200 образцов дисперсных грунтов с глубины до 230 м. Испытания грунтов проводились в соответствии с методами, приведенными в действующих нормативных документах . Были определены: гранулометрический состав, плотность (ρ) , плотность твердых частиц (ρ s ) , плотность сухого грунта (ρ d ) , влажность (w ), влажность глинистых грунтов, на границе раскатывания и текучести (w L и w p ), показатели деформационных и прочностных свойств; рассчитаны параметры состояния, такие как коэффициент пористости (e), пористость, полная влагоемкость, для глинистых грунтов - число пластичности и показатель текучести, коэффициент переуплотнения грунта OCR (как отношение давления предварительного уплотнения (σ p ") к бытовому давлению в точке отбора образца) и другие характеристики.

При выборе графических методов определения показателя p str , кроме метода Casagrande были рассмотрены применяемые за рубежом методы определения давления предварительного уплотнения σ p ". Необходимо отметить, что в терминологии инженера-геолога «давление предварительного уплотнения» (Preconsolidation Stress ) , начинает вытеснять привычное понятие «структурной прочности грунта», хотя методы их определения одинаковы. По определению , структурной прочностью грунта называют вертикальное напряжение в образце грунта, соответствующее началу перехода от упругих деформаций сжатия к пластическим, что соответствует термину Yield Stress . В этом смысле, определяемая в компрессионных испытаниях характеристика, не должна приниматься как максимальное давление в рамках «исторической памяти» образца. Burland полагает, что термин yield stress является более точным, а термин preconsolidation stress должен применяться для ситуаций, в которых величина такого давления может быть установлена геологическими методами. Аналогичным образом термин Over Consolidation Ratio (OCR ) должен быть использован для описания известной предыстории напряжений, а в противном случае должен применяться термин Yield Stress Ratio (YSR ) . Во многих случаях Yield Stress берется в качестве эффективного напряжения предварительного уплотнения, хотя технически последнее связано с механической разгрузкой напряжений, в то время как первый включает в себя дополнительные эффекты, обусловленные диагенезом, сцеплением за счет органики, соотношением компонент грунта и его структурой , т.е. является структурной прочностью грунта.

Таким образом, первым шагом на пути выявления особенностей формирования грунтов должно быть количественное определение профиля Yield Stress , который является ключевым параметром выделения нормально уплотненных грунтов (с преимущественно пластической реакцией) из числа переуплотненных грунтов (ассоциирующихся с псевдо-упругой реакцией) . И структурная прочность p str , и давление предварительного уплотнения σ p " определяются одинаково, как было отмечено, в основном лабораторными методами по результатам компрессионных испытаний (ГОСТ 12248, ASTM D 2435 и ASTM D 4186). Есть много интересных работ исследующих состояние грунта, давление предварительного уплотнения σ p " и методы его определения в полевых условиях . Графическая обработка результатов компрессионных испытаний также весьма разнообразна, ниже приводится краткое описание наиболее часто применяемых за рубежом методик определения σ p ", которые следует применять для получения p str .

Метод Casagrande (1936 г ) - наиболее старый метод для расчета структурной прочности и давления предварительного уплотнения. Он основан на предположении, что грунт испытывает изменение прочности, переходя от упругой реакции на нагрузку к пластичной, в точке, близкой к давлению предварительного уплотнения. Этот метод дает хорошие результаты при наличии точно определенной точки перегиба на графике компрессионной кривой вида e - log σ" (рис. 1 а), через которую проводят касательную и горизонтальную линию от коэффициента пористости, затем между ними биссектрису. Прямолинейный участок окончания компрессионной кривой экстраполируют до пересечения с биссектрисой и получают точку, значение ее при проецировании на ось log σ" , соответствует давлению переуплотнения σ p " (или структурной прочности). Метод остается наиболее часто применяемым по сравнению с другими.

Метод Burmister (1951 г ) - представляет зависимость видаε - Log σ", где ε - относительная деформация. Значение σ p " определяется при пересечении перпендикуляра идущего от оси Log σ" через точку петли гистерезиса при повторной нагрузке образца, с касательной к конечному участку компрессионной кривой (рис. 1 б).

Метод Schemertmann (1953 г ), здесь применяется также компрессионная кривая вида e - log σ" (рис. 1 в). Компрессионные испытания проводят до получения отчетливого прямого участка на кривой, затем производят разгрузку до бытового давления и повторно нагружают. На графике проводят линию параллельно средней линии кривой декомпрессии-рекомпрессии через точку бытового давления. Значение σ p " определяют, проведя перпендикуляр от оси log σ" через точку разгрузки, до пересечения с параллельной прямой. Из точки σ p " проводят линию до пересечения с точкой на прямоли-нейном участке компрессионной кривой, имеющей коэффици-ент пористости е =0,42.Полученная истинная кривая компрессии применяется для расчета коэффициента компрес-сии или коэффициента уплотнения. Этот метод применим для грунтов мягкой консистенции.

Метод Akai (1960 г ), представляет зависимость коэффициента ползучести ε s от σ" (рис. 1 г), применяется, соответственно, для склонных к ползучести грунтов. Консолидационная кривая представляет собой зависимость относительной деформации от логарифма времени и делится на участок фильтрационной консолидации и консолидации ползучести. Akai отметил, что коэффициент ползучести увеличивается пропорционально σ" до значения σ p ", и после σ p " пропорционально Log σ" .

Метод Janbu (1969 г )основан на предположении, что давление предварительного уплотнения может быть определено из графика вида ε - σ" . В методе Janbu для глин с высокой чувствительностью и низким OCR давление предварительного уплотнения может быть определено при построении графика «нагрузка - деформация» с использованием линейного масштаба. Второй способ Janbu представляет собой график зависимости секущего модуля деформации Е или E 50 от эффективных напряжений σ" (рис.1 д). И еще один вариант метод Christensen-Janbu (1969 г ), представляет зависимость вида r - σ", получаемая по консолидационным кривым, где t - время, r= dR/dt, R = dt /dε.

Метод Sеllfors (1975 г ) представляет собой зависимость вида ε - σ" (рис. 1 е), применяется в основном для метода CRS. Ось напряжение-деформация выбирается в с фиксированным соотношением в линейном масштабе, обычно в соотношении 10/1 для отношения напряжения (кПа) к деформации (%). Такой вывод был сделан после серии полевых испытаний, где были измерены поровое давление пор и осадка. Это значит, что метод Sallfors для оценки давления переуплотнения дает более соответствующие действительности значения по сравнению с оценками, проводимыми в ходе полевых испытаний.

Метод Pacheco Silva (1970 г ), представляется очень простым относительно построения графика, также вида e - Log σ" (рис. 1 ж), дает точные результаты при испытаниях мягких грунтов. Этот метод не требует субъективной интерпретации результатов, а также не зависит от масштаба. Широко используется в Бразилии.

Метод Butterfield (1979 г ) основан на анализе графика зависимости объема образца от эффективного напряжения вида log(1+e) - log σ" или ln (1+e) - ln σ" (рис. 1 з). Метод включает в себя несколько различных версий, где давление предварительного уплотнения определяется как точка пересечения двух линий.

Метод Tavenas (1979 г ), предполагает линейную зависимость между энергией деформации и эффективным напряжением для рекомпрессионной части испытания на графике вида σ"ε - σ" (рис.1 н, в верхней части графика). Его используют непосредственно на основе кривой компрессии без учета перезагрузочной части испытания. Для более консолидированных образцов, график напряжения/деформации состоит из двух частей: первая часть кривой возрастает более резко, чем вторая. Точка пересечения двух линий, определяется как давление предварительного уплотнения.

Метод Oikawa (1987 г ), представляет собой пересечения прямых на графике зависимости log(1+e) от σ" -

Метод Jose (1989 г ), представляет зависимость вида log е - log σ" очень простой метод для приближенной оценки давления предварительного уплотнения, в методе используется пересечение двух прямых. Он является прямым методом и в нем отсутствуют ошибки определения места расположения точки максимума кривизны. Метод Sridharan et al . (1989 г ), также представляет собой график зависимости log(1+e) - log σ" для определения структурной прочности плотных грунтов, поэтому касательная пересекает горизонтальную линию, соответствующую исходному коэффициенту пористости, что дает неплохие результаты.

Метод Burland (1990 г ) представляет собой график зависимости индекса пористости I v от напряжений σ" (рис.1 и). Индекс пористости определяется по формуле I v = (e -е* 100)/(е* 100 -е* 1000) , или дл я более слабых грунтов: I v = (e -е* 10)/(е* 10 -е* 100) , где е* 10 , е* 100 и е* 1000 коэффициенты пористости при нагрузках 10, 100 и 1000 кПа (рис. б).

Метод Jacobsen (1992 г ), структурная прочность принимается равной 2,5σ к , где σ к с - точка максимальной кривизны на графике Казагранде, соответственно, также зависимость вида e - log σ" (рис.1 л).

Метод Onitsuka (1995 г ), представляет собой пересечения прямых на графике зависимости ln (1+e) от σ" - эффективных напряжений, наносимых на шкалу в логарифмическом масштабе (десятичные логарифмы).

Метод Van Zelst (1997 г ), на графике зависимости вида ε - log σ" , уклон линии (ab) параллелен уклону линии разгрузки (cd ). Абсцисса точки (b ) является структурной прочностью грунта (рис.1 м).

Метод Becker (1987г ), как и метод Tavenas, определяет энергию деформации при каждой нагрузке компрессионных испытаний, применяя зависимость W - σ", где . Энергия деформации (или, с другой стороны, работа силы) численно равна половине произведения величины силового фактора на значение перемещения, соответствующего этой силе. Величина напряжения, соответствующая суммарной работе, определяется в конце каждого приращения напряжения. Зависимость на графике имеет два прямолинейных участка, давлением переуплотнения будет точка пересечения этих прямых.

Метод Strain Energy-Log Stress (1997 г ), Senol and Saglamer (2000 г (рис. 1 н)), преобразованные методы Becker и/или Tavenas, представляет собой зависимость вида σ" ε - log σ" , 1 и 3 участки представляет собой прямые линии, точка пересечения которых при их продлении будет структурной прочностью грунта.

Метод Nagaraj & Shrinivasa Murthy (1991, 1994 г ), авторы предлагают обобщенную взаимосвязь вида log σ"ε - log σ" - для предсказания величины давления предварительного уплотнения для переуплотненных насыщенных несцементированных грунтов. Метод основан на методе Tavenas и по сравнению с методом Senol и др. (2000), этот метод дает более высокий коэффициент корреляции в частных случаях.

Метод Chetia и Bora (1998 г ), в первую очередь рассматривает историю нагрузок на грунт, их характеристики и оценки с точки зрения коэффициента переуплотнения (OCR), основная цель исследования заключается в установлении эмпирической зависимости между OCR и отношением е/e L .

Метод Thøgersen (2001 г ), представляет собой зависимость коэффициента консолидации от эффективных напряжений (рис.1 о).

Метод Wang and Frost , Dissipated Strain Energy Method DSEM (2004 г. ) также относится к энергетическим методам расчета деформации. По сравнению с Strain Energy методом, DSEM использует рассеянную энергию деформации и уклон разгрузки-перезагрузки компрессионного цикла, чтобы минимизировать влияние нарушенной структуры образца и устранения эффекта упругой деформации. Рассеиваемая энергия деформации, с точки зрения микромеханики, непосредственно связана с необратимостью процесса консолидации. Использование уклона компрессионной кривой на участке разгрузки-перезагрузки моделирует упругую перезагрузку на стадии рекомпрессии и может свести к минимуму воздействие нарушенности образца. Метод менее зависит от оператора, чем большинство существующих.

Метод Einav and Carter (2007 г ), представляет собой также график вида е -log σ", а σ p " выражено более сложной экспоненциальной зависимостью.

Случай перехода грунта в стадию консолидационной ползучести после преодоления σ p " описан в работах , если окончание действия очередной ступени нагрузки совпадает с окончанием первичной консолидации и коэффициент пористости на графике зависимости e - log σ" резко падает вертикально, то кривая входит в стадию вторичной консолидации. При разгрузке кривая возвращается к точке окончания первичной консолидации, создавая эффект давления переуплотнения. Есть ряд работ предлагающих расчетные методы определения показателя σ p " .

а)б) в)

г)д) е)

ж)з) и)

к)л) м)

н) о)

Методы:

а) Casagrande , б) Burmister, в) Schemertmann, г) Akai , д) Janbu, е) Sеllfors, ж) Pacheco Silva, з) Butterfield, и) Burland , к) Jacobsen , л) Van Zelst, м) Becker , н) Senol and Saglamer , о) Th ø gersen

Рис. 1. Схемы графической обработки результатов компрессионных испытаний, применяемые при определении структурной прочности грунта, различными методами

В целом графические методы определения давления переуплотнения по результатам компрессионных испытаний можно разделить на четыре основные группы. Первая группа решений включает зависимости коэффициента пористости (е )/плотности (ρ) /относительной деформации (ε )/изменения объема (1+е ) от эффективных напряжений (σ" ). Графики корректируются при помощи логарифмирования одной или двух перечисленных характеристик, что приводит к выпрямлению участков компрессионной кривой, а искомый результат (σ p ") получается при пересечении экстраполируемых выпрямленных участков. Группа включает методы Casagrande, Burmister, Schemertmann, Janbu, Butterfield, Oikawa, Jose, Sridharan et al., Onitsuka и др. Вторая группа связывает показатели консолидации с эффективными напряжениями, это методы: Akai, Christensen-Janbu и Thøgersen. Наиболее простыми и точными считаются методы третьей группы - энергетические методы расчета деформаций: Tavenas, Becker, Strain Energy-Log Stress, Nagaraj & Shrinivasa Murthy, Senol and Saglamer, Frost and Wang и др. Энергетические методы расчета деформаций также опираются на уникальную связь между коэффициентом пористости на стадии завершении первичной консолидации, и эффективным напряжением, Вecker и другие оценивают линейную связь между полной энергией деформации W и эффективным напряжением без учета разгрузки и повторной нагрузки. В действительности все энергетические методы отображаются в пространстве W - σ" , также как и метод Butterfield воспроизводится в поле log (1+е)- log σ". Если метод Casagrande фокусирует давление переуплотнения, в основном, на наиболее искривленном участке графика, то энергетические методы адаптированы к середине уклона компрессионной кривой до σ p " . Частично признание превосходства этих методов определяется их относительной новизной и упоминанием при разработке и усовершенствовании нового метода этой активно развивающейся группы. Четвертая группа объединяет методы с разнообразными нестандартными подходами к графической обработке кривых, сюда можно отнести методыJacobsen, Sеllfors, Pacheco Silva, Einav and Carter и др. На основе анализа, приведенного в источниках 10, 19, 22-24, 30, 31, 43-46] отметим, что наиболее распространенными являются графические методы Casagrande, Butterfield, Becker, Strain Energy-Log Stress, Sеllfors и Pacheco Silva, в России, в основном, применяется метод Casagrande.

Необходимо отметить, что если для определения YSR (или OCR ) достаточно одного значения p str или σ p " , то при выделении прямых участков компрессионной кривой до и после p str при получении характеристик деформации желательно получать две ключевых точки: минимальную p str /min и максимальную p str / m ax структурную прочность (рис. 1 а). Здесь возможно использование точек отрыва касательных к начальному и конечному участкам, или использование методов Casagrande, Sеllfors и Pacheco Silva. В качестве методических указаний при исследовании компрессионных параметров рекомендуется определять также соответствующие минимальной и максимальной структурной прочности показатели физических свойств грунта: в первую очередь коэффициенты пористости и влажность.

В данной работе показатель p str был получен по стандартной методике, изложенной в ГОСТ 12248 на комплексе АСИС НПО Геотек. Для определения p str первую и последующие ступени давления принимали равными 0,0025 МПа до момента начала сжатия образца грунта, за которое принимается относительная вертикальная деформация образца грунта e >0,005. Структурная прочность определялась по начальному участку компрессионной кривой е i = f (lg σ" ), где е i - коэффициент пористости при нагрузке σ i . Точка явного перелома кривой после начального прямолинейного участка соответствует структурной прочности грунта на сжатие. Графическая обработка результатов проводилась также классическими методами Casagrande и Becker. Результаты определения показателей по ГОСТ 12248 и методами Casagrande и Becker хорошо коррелируют между собой (коэффициенты корреляции r =0,97). Бесспорно, заранее зная значения можно получить точнейшие результаты используя оба метода. В действительности, метод Becker показался несколько сложнее при выборе касательной в начале графика (рис. 1 м).

По лабораторным данным значения изменяются p str от 0 до 188 кПа у суглинков, у глин до 170, у супесей до 177. Максимальные значения, отмечены, естественно, у образцов, отобранных с больших глубин. Была выявлена также зависимость изменения показателя с глубиной h (r = 0,79):

p str = 19,6 + 0,62· h .

Анализ изменчивости O С R (рис. 2) показал, что грунты ниже 20 м являются нормально уплотненными, т.е. структурная прочность не превышает или слабо превышает бытовое давление (OCR ≤1 ). На левобережье р. Оби в интервалах 150-250м, встречены прочно сцементированные сидеритовым, гетитовым, хлоритовым, лептохлоритовым и цементом полускальные и скальные грунты, а также дисперсные грунты с высокой структурной прочностью более 0,3 МПа, подстилаемые и переслаиваемые менее прочными разноводностями, что в целом подтверждает значительное влияние цементации на структурную прочность грунтов, которое подтверждается систематизацией аналогичных фактических материалов в работе . Присутствие более прочных грунтов, обусловило большой разброс значений в данном интервале, поэтому их показатели не были включены в график зависимости O С R от глубины, как не типичные для всей области. Для верхней части разреза необходимо отметить тот факт, что разброс значений показателя значительно шире - вплоть до сильно уплотненных (рис. 2), так как грунты зоны аэрации часто встречаются в полутвердом и твердом трехфазном состоянии, а с повышением их влажности (r =-0,47), полной влагоемкости (r = -0,43) и степени водонасыщения (r = -0,32) снижается структурная прочность. Встречаются также, отмеченный выше, вариант перехода к консолидации ползучести (и не только в верхней части разреза). Здесь, необходимо отметить, что имеющие структурную прочность грунты, весьма разнообразны: одни могут находиться в неводонасыщенном двухфазном состоянии, другие могут иметь весьма высокий коэффициент чувствительности к механическим воздействиям и склонность к ползучести, третьи обладать значительным сцеплением за счет цемента, четвертые - просто довольно прочные, полностью водонасыщенные глинистые грунты, залегающие на небольших глубинах.

Результаты проведенных исследований позволили впервые оценить один из важнейших показателей исходного состояния грунтов Томской области - его структурную прочность, которая выше зоны аэрации изменяется в очень широких пределах, поэтому ее необходимо определять на каждом участке работ перед проведением испытаний на определение показателей физико-механических свойств грунта. Анализ полученных данных показал, что изменения показателя OCR на глубине ниже 20-30 метров менее значительны, грунты нормально уплотнены, но их структурная прочность также должна учитываться при определении механических характеристик грунтов. Результаты исследований рекомендуется применять при компрессионных и сдвиговых испытаниях, а также для определения нарушенного состояния образцов с естественной структурой.

Рецензенты:

Савичев О.Г., д.г.н., профессор кафедры Гидрогеологии, инженерной геологии и гидрогеоэкологии Института природных ресурсов Томского политехнического университета, г. Томск.

Попов В.К.,д.г.-м.н., профессор кафедры Гидрогеологии, инженерной геологии и гидрогеоэкологии Института природных ресурсов Томского политехнического университета, г. Томск.

Библиографическая ссылка

Основные понятия курса. Цели и задачи курса. Состав, строение, состояние и физические свойства грунтов.

Основные понятия курса.

Механика грунтов изучает физические и механические свойства грунтов, методы расчета напряженного состояния и деформаций оснований, оценки к устойчивости грунтовых массивов, давление грунта на сооружения.

Грунтом называют любую горную породу, используемую при строительстве в качестве основания сооружения, среды, в которой сооружение возводится, или материала для сооружения.

Горной породой называют закономерно построенную совокупность минералов, которая характеризуется составом структурой и текстурой.

Под составом подразумевают перечень минералов, составляющих породу. Структура – это размер, форма и количественное соотношение слагающих породу частиц. Текстура – пространственное расположение элементов грунта, определяющее его строение.

Все грунты разделяются на естественные – магматические, осадочные, метаморфические - и искусственные – уплотненные, закрепленные в естественном состоянии, насыпные и намывные.

Задачи курса механики грунтов.

Основной задачей курса является обучить студента:

Основным законам и принципиальным положениям механики грунтов;

Свойствам грунтов и их характеристики - физические, деформационные, прочностные;

Методам расчета напряженного состояния грунтового массива;

Методам расчета прочности грунтов и осадок.

Состав и строение грунтов.

Грунт является трехкомпонентной средой, состоящей из твердой, жидкой и газообразной компоненты. Иногда в грунте выделяют биоту – живое вещество. Твердая, жидкая и газообразная компоненты находятся в постоянном взаимодействие, которое активизируется в результате строительства.

Твердые частицы грунтов состоят из породообразующих минералов с различными свойствами:

Минералы инертные по отношению к воде;

Минералы растворимые в воде;

Глинистые минералы.

Жидкая составляющая присутствует в грунте в 3-х состояниях:

Кристаллизационная;

Связанная;

Свободная.

Газообразная составляющая в самых верхних слоях грунта представлена атмосферным воздухом, ниже – азотом, метаном, сероводородом и другими газами.

Структура и текстура грунта, структурная прочность и связи в грунте.

Совокупность твердых частиц образует скелет грунта. Форма частиц может быть угловатой и округлой. Основной характеристикой структуры грунта является гранулометрический состав, который показывает количественное соотношение фракций частиц различного размера.

Текстура грунта зависит от условий его формирования и геологической истории и характеризует неоднородность грунтовой толщи в пласте. Различают следующие основные виды сложения природных глинистых грунтов: слоистые, слитные и сложные.

Основные виды структурных связей в грунтах:

1) кристаллизационные связи присуще скальным грунтам. Энергия кристаллических связей соизмерима с внутрикристаллической энергией химической связи отдельных атомов.

2) водно-коллоидные связи обуславливаются электромолекулярными силами взаимодействия между минеральными частицами, с одной стороны, и пленками воды и коллоидными оболочками – с другой. Величина этих сил зависит от толщины пленок и оболочек. Водно-коллоидные связи пластичны и обратимы; при увеличении влажности они быстро уменьшаются до значений близких к нулю.

Большинство глинистых грунтов обладает структурной прочностью, а вода в порах этих грунтов содержит газ в растворенном виде. Эти грунты можно рассматривать как двухфазное тело, состоящее из скелета и сжимающей воды в порах. Если внешнее давление меньше структурной прочности грунта P стр . , то процесс уплотнения грунта не возникает, а будут лишь небольшие упругие деформации. Чем больше структурная прочность грунта, тем меньше приложенной нагрузки будет передаваться на поровую воду. Этому способствует также сжимаемость поровой воды с газом.

В начальный момент времени на поровую воду с учетом прочности скелета грунта и сжимаемости воды будет передаваться часть внешнего давления P w о – начального порового давления в водонасыщенном грунте при нагрузке Р . При этом коэффициент начального порового давления

В данном случае начальное напряжение в скелете грунта:

Pz 0 = P – P w о. (5.58)

Относительная мгновенная деформация скелета грунта

 0 = m v (P – P w о). (5.59)

Относительная деформация грунта вследствие сжимаемости воды при полном заполнении пор водой

 w = m w P w о n , (5.60)

где m w – коэффициент объемной сжимаемости воды в порах; n – пористость грунта.

Если принять, что в начальном периоде при напряжениях P z объем твердых частиц остается без изменения, то относительная деформация скелета грунта будет равна относительной деформации поровой воды:

 0 =  w = . (5.61)

Приравняв правые части (5.59) и (5.60), получим

. (5.62)

Подставляя P w о в уравнение (5.57), находим коэффициент начального порового давления

. (5.63)

Коэффициент объемной сжимаемости воды в порах можно найти по приближенной формуле

, (5.64)

где J w – коэффициент водонасыщенности грунта; P a – атмосферное давление 0,1 МПа.

Эпюра вертикальных давлений в слое грунта от нагрузки при сжимаемой поровой воде и структурной прочности грунта показана на рис.5.14.

С учетом вышеизложенного формулу (5.49) для определения осадки во времени слоя грунта при сплошной равномерно распределенной нагрузке с учетом структурной прочности и сжимаемости газосодержащей жидкости можно записать так:

. (5.65)

Рис.5.14. Эпюры вертикальных давлений в слое грунта при сплошной нагрузке с учетом структурной прочности

Значение N определяем по формуле (5.46). При этом коэффициент консолидации

.

Аналогичные изменения можно внести в формулы (5.52), (5.53) для определения осадок во времени с учетом структурной прочности и сжимаемости газосодержащей жидкости для случая 1 и 2.

5.5. Влияние начального градиента напора

В глинистых грунтах имеется прочно- и рыхлосвязная вода и частично свободная. Фильтрация, а следовательно, и уплотнение слоя грунта начинается только в том случае, когда градиент будет больше начального i 0 .

Рассмотрим конечную осадку слоя грунта толщиной h (рис.5.15), обладающего начальным градиентом i 0 и загруженного равномерно распределенной нагрузкой. Фильтрация воды двухсторонняя (вверх и вниз).

При наличии начального градиента от внешней нагрузки Р во всех точках по глубине слоя в поровой воде возникает напор, равный P / w ( w - удельный вес воды). На эпюре избыточных давлений начальный градиент изобразится тангенсом угла I :

Р
ис.5.15. Схема уплотнения грунта при наличии начального градиента напора: а – зона уплотнения не достигает глубины; б – зона уплотнения распротраняется на всю глубину, но уплотнение неполное

tgI = i 0 . (5.66)

Только в тех областях, где градиент напора будет больше начального (
), начнется фильтрация воды и будет происходить уплотнение грунта. На рис.5.15 показано два случая. Если приz < 0,5h градиент меньше начального i 0 , то вода не сможет фильтроваться из середины слоя, т.к. возникает "мертвая зона". По рис.5.15,а находим

, (5.67)

здесь z max < 0,5h . При этом осадка равна

S 1 = 2m v zP/ 2 или S 1 = m v zP. (5.68)

Подставляя значение z max в (5.68), получим

. (5.69)

Для случая, показанного на рис.5.15,б, осадка определяется по формуле

. (5.70)

Величина структурной прочности грунтов является весьма важной характеристикой грунтов. Величину ее можно определить по компрессионной кривой ненарушенной структуры, испытывая грунты (до достижения структурной прочности) весьма малыми ступенями нагрузки (примерно 0.002-0.010 МПа), тогда резкий перелом компрессионной кривой и будет соответствовать структурной прочности сжатия грунта. Значение давления, соответствующее точке пересечения кривой с осью давления равно значению структурной прочности на сжатие .

Рисунок а) относ-е сжатие водонасыщенного грунта в зависимости от давления р, б) относ-е сжатие глинистого грунта при частичном разуплотнении в зависимости от давления.

Закон уплотнения грунта: изменение коэффициента пористости грунта прямо пропорционально изменению давления.

13. Компрессионная зависимость при объёмном сжатии

Изменения коэффициента пористости е грунта при компрессионном сжатии в общем случае будут зависеть не только от величины вертикальных нормальных напряжений Но и от горизонтальных и

Определим суму главных напряжений в случае сжатия слоя грунта без возможности его бокового расширения, выделив элементарный паралепипед, который в условиях данной задачи будет испытывать лишь нормальнее (главные) напряжения

Так как горизонтальные деформации (расширение грунта в стороны) невозможны, то горизонтальные относительные деформации будут равны нулю т.е. , откуда вытекает, что . Кроме того, из условия равновесия имеем

Известно, что относительная деформация упругого тела в соответствии с законом Гука находится из выражения

Где -модуль упругости материала, -коэффициент бокового расширения грунта (коэф. Пуассона). Подставив в это выражение , , , получим

Где -коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя, т.е. при отсутствии горизонтальных перемещений