Ортогональная проекция точки на прямую онлайн. Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую. Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0) и прямая L :

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить прямую L 1 , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
• найти пересечение прямых L и L 1 (точка M 1)

Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) имеет следующий вид:

Откроем скобки

(5)

Подставим значения x и y в (4):

где x 1 =mt" +x" , y 1 =pt" +y" .

Пример 1. Найти проекцию точки M 0 (1, 3) на прямую

Т.е. m =4, p =5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M" (x" , y" )=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x" =2, y" =-3. Подставим значения m, p, x 0 , y 0 , x", y" в (5"):

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и прямая L :

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
• найти пересечение плоскости α и прямой L (точка M 1)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет следующий вид:

Откроем скобки

Подставим значения x и y в (9):

1-12. Проекция точки на плоскость или прямую

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты проекции Р" точки P{^PiУРЧzp) па плоскость Ах + By -\- Cz-\- D = О,

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Проекция Р" точки Р на плоскость является ос­ нованием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю­ щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п = = {А, В, С}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

X = At-\- хр, у = Bt-\-yp, Z =z Ct-\- Zp.

3. Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относи­ тельно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

4. Найденное значение ^о подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р".

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат проекции точки на прямую.

ПРИМЕР. Найти координаты проекции Р " точки Р(1,2,-1) на плоскость Зж - 2/4-22: - 4 = 0.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю­ щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =

3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра ^, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

3(3t + 1) - l{-t + 2) + 2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.

4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следо­ вательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).

Ответ. Проекция Р" имеет координаты (7,0,1).

Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).

1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты точки Q, симметрич­

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая точка Q лежит на прямой, перпенди­ кулярной данной и пересекающей ее в точке Р". Поскольку точка Р " делит отрезок PQ пополам, координаты жд, уд и ZQ ТОЧКИ Q определяются из условий

ее проекции Р" на данную прямую.

1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р " (см. задачу 1.12). Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е. п = а = {l^m^n}. Получаем

1{х - Хр) + т{у - УР) -f n{z - zp) = 0;

б) найдем координаты точки пересечения Р " этой плоскости с за­ данной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметри­ ческой форме

X = Н-\- жо, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.

Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе­ чение прямой и плоскости;

в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р".

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяем из условий (1). Получаем

XQ = 2хр/ - Хр, yq = 2ур" - ур, ZQ = 22;р/ - zp.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.

ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой

X - 1 _ у __ Z -\-1

Р ЕШЕНИЕ.

1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р". Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на­ ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = -1;

в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = -1, получаем

жр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следова­ тельно, проекция точки Р на прямую есть Р"(0,0,1).

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяются из условий (1):

XQ = 2хр" - Хр = -2,

VQ = 2ур/ - 2/р = 1,

ZQ = 2zpf - zp = 0.

Ответ. Точка Q имеет координаты (-2,1,0).

Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точ­ ке Р от^носителъно заданной прямой.

Проекция точки на прямую линию находится достаточно просто и при выполнении некоторых операций нулевое приближение вычисляется как проекция точки на касательную прямую. Рассмотрим этот частный случай общей задачи.

Пусть дана прямая

и точка . Будем считать, что вектор прямой w имеет произвольную длину. Прямая линия проходит через точку , в которой параметр t равен нулю, и имеет направление вектора w. Требуется найти проекцию точки на прямую линию . Эта задача имеет единственное решение. Построим вектор из точки прямой в точку и вычислим скалярное произведение этого вектора и вектора прямой w. На рис. 4.5.1 показаны направляющий вектор прямой w, ее начальная точка Со и проекция ; заданной точки. Если разделим это скалярное произведение на длину вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую линию.

Рис. 4.5.1. Проекция точки на прямую линию

Если же разделим это скалярное произведение на квадрат длины вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую в единицах длины вектора w, т. е. получим параметр t для проекции точки на прямую линию.

Таким образом, параметр проекции точки на прямую линию и радиус-вектор проекции ; вычисляются по формулам

(4.5.3)

Если длина вектора w равна единице, то в (4.5.2) не требуется выполнять деление на Расстояние от точки до ее проекции на кривую в общем случае вычисляется как длина вектора . Расстояние от точки до ее проекции на прямую линию можно определить, не вычисляя проекцию точки, а воспользовавшись формулой

Частные случаи.

Проекция точки на аналитические кривые также может быть найдена без привлечения численных методов. Например, чтобы найти проекцию точки на коническое сечение, нужно перевести проецируемую точку в местную систему координат конического сечения, спроецировать эту точку на плоскость конического сечения и найти параметр двухмерной проекции заданной точки.

Общий случай.

Пусть требуется найти все проекции точки на кривую линию Каждая искомая точка кривой удовлетворяет уравнению

(4.5.5)

Это уравнение содержит одну неизвестную величину - параметр t. Как было уже сказано, решение этой задачи разобьем на два этапа. На первом этапе определим нулевые приближения параметров проекций точки на кривую, а на втором этапе найдем точные значения параметров кривой, определяющие проекции заданной точки на кривую линию с